Alex joue en ligne (avec des jeux gratuits) - Olympiades 2024 Exercice 5

Le jeu auquel Alex joue propose plusieurs niveaux. Pour en avoir terminé avec un certain niveau, il faut découvrir le rôle d’une fonction inconnue, nommée $$  magic $$ . Cette fonction associe à chaque entier naturel non nul un entier naturel. Elle est croissante sur l’ensemble des entiers naturels et, pour tout entier naturel non nul $a$ , on sait que magic $(a)>a$ .

Alex doit déterminer le nombre magic $(2024)$ .

Pour cela, Alex dispose d’une fonction aide, qui doit lui permettre de déterminer magic $(n)$ , et qui est définie par l’algorithme suivant :

$\{\begin{array}{l}\text{Saisir}n\\ \text{Affecter à la variable}x\text{la valeur}\mathbf{\text{magic}}(n)\\ \text{Affecter à la variable}y\text{la valeur de}\mathbf{\text{magic}}(x)\\ \\ \text{Afficher la valeur de}y\end{array}$

On peut programmer cet algorithme avec le programme Python ci-dessous.

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{}\mathtt{\text{def}}\mathbf{\text{aide}}(n)\\ x=\mathbf{\text{magic}}(n)\\ y=\mathbf{\text{magic}}(x)\\ \mathtt{\text{return}}(y)\end{array}}}$

Le tableau ci-dessous donne quelques-uns des résultats obtenus par Alex :

$\begin{array}{|lcccc|}\hline \text{Valeurs de}n& 1& 2& 10& 15\\ \text{Résultats retournés pour}\mathbf{\text{aide}}(n)& 3& 6& 30& 45\\ \hline\end{array}$

Alex, remarquant que la fonction aide semble retourner le triple du nombre entré vérifie alors, à l’aide d’un programme, que pour tout entier  $n$ compris entre  $1$ et $10000$  ; on a aide $(n)=3n$ .

Alex pose tout d’abord magic $(1)=m$ .

1. Expliquer comment Alex :
    a. détermine la valeur de magic $(m)$ ;
    b. prouve que  \(1 ;
    c. trouve successivement les valeurs de $m$ , de magic $(2)$ , de magic $(3)$ et de magic $(6)$ .

2. a. Montrer que la fonction magic est strictement croissante sur l’ensemble des entiers naturels allant de  $1$ à $10000$ .
    b. Quelles valeurs Alex peut-il alors en déduire pour magic $(4)$ et magic $(5)$ ?

3. Dans le tableau ci-dessous, la flèche représente la fonction magic. Comme Alex, compléter les  $9$ lignes de ce tableau.

$$\begin{gathered} \boxed{{\displaystyle 1\to \dots \to \dots \\ 2\to \dots \to \dots \\ 3\to \dots \to \dots \\ \dots \\ 9\to \dots \to \dots }} \end{gathered}$$

Par exemple, la première ligne sera complétée par les valeurs trouvées ci-dessus pour magic $(1)$ et magic $(m)$ .

Compléter également celui-ci.

$$\begin{gathered} \boxed{{\displaystyle 10\to \dots \to \dots \\ 11\to \dots \to \dots \\ 12\to \dots \to \dots \\ \dots \\ 18\to \dots \to \dots }} \end{gathered}$$

4. Expliquer ce qui permet à Alex d’affirmer que magic $(2\times 3^6)=3^7$ et magic $(3^7)=2\times 3^7$ .

5. En poursuivant son raisonnement, Alex a trouvé, elle peut passer au niveau supérieur ! Mais que vaut donc magic $(2024)$ ?