Alex joue en ligne (avec des jeux gratuits) - Olympiades 2024 Exercice 5

Le jeu auquel Alex joue propose plusieurs niveaux. Pour en avoir terminé avec un certain niveau, il faut découvrir le rôle d’une fonction inconnue, nommée \(\)  magic \(\) . Cette fonction associe à chaque entier naturel non nul un entier naturel. Elle est croissante sur l’ensemble des entiers naturels et, pour tout entier naturel non nul \(a\) , on sait que magic \((a)>a\) .

Alex doit déterminer le nombre magic \((2\,024)\) .

Pour cela, Alex dispose d’une fonction aide, qui doit lui permettre de déterminer magic \((n)\) , et qui est définie par l’algorithme suivant :

\(\begin{cases} \text{Saisir}\; n \\\text{Affecter à la variable}\; x\; \text{la valeur}\; \textbf{magic}(n)\\\text{Affecter à la variable}\; y\;\text{la valeur de}\; \textbf{magic}(x)\\\\\text{Afficher la valeur de}\; y\end{cases}\)

On peut programmer cet algorithme avec le programme Python ci-dessous.

\(\boxed{\begin{array}{} \texttt{def}\;\textbf{aide}(n)\\ \qquad x = \textbf{magic}(n)\\\qquad y = \textbf{magic}(x)\\\qquad\texttt{return}(y)\\ \end{array}}\)

Le tableau ci-dessous donne quelques-uns des résultats obtenus par Alex :

\(\begin{array}{|l|c|c|}\hline \text{Valeurs de}\;n&1&2&10&15\\\hline\text{Résultats retournés pour}\; \textbf{aide}(n)&3&6&30&45\\\hline\end{array}\)

Alex, remarquant que la fonction aide semble retourner le triple du nombre entré vérifie alors, à l’aide d’un programme, que pour tout entier  \(n\) compris entre  \(1\) et \(10\;000\)  ; on a aide \((n)=3n\) .

Alex pose tout d’abord magic \((1)=m\) .

1. Expliquer comment Alex :
    a. détermine la valeur de magic \((m)\) ;
    b. prouve que  \(1 ;
    c. trouve successivement les valeurs de \(m\) , de magic \((2)\) , de magic \((3)\) et de magic \((6)\) .

2. a. Montrer que la fonction magic est strictement croissante sur l’ensemble des entiers naturels allant de  \(1\) à \(10\;000\) .
    b. Quelles valeurs Alex peut-il alors en déduire pour magic \((4)\) et magic \((5)\) ?

3. Dans le tableau ci-dessous, la flèche représente la fonction magic. Comme Alex, compléter les  \(9\) lignes de ce tableau.

\(\boxed{1\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\2\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\3\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\\ldots\\9\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots}\)

Par exemple, la première ligne sera complétée par les valeurs trouvées ci-dessus pour magic \((1)\) et magic \((m)\) .

Compléter également celui-ci.

\(\boxed{10\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\11\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\12\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots\\\ldots\\18\rightarrow\ldots\rightarrow\ldots}\)

4. Expliquer ce qui permet à Alex d’affirmer que magic \((2\times3^6)=3^7\) et magic \((3^7)=2\times3^7\) .

5. En poursuivant son raisonnement, Alex a trouvé, elle peut passer au niveau supérieur ! Mais que vaut donc magic \((2\,024)\) ?